整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
公元前6世纪，古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras)提出了关于数的概念，成为代数学发展的重要奠基。17世纪，法国的数学家弗朗索瓦·维埃特(FrancoisViète)用字母代替已知和未知量，使日渐衰微的代数复生。
整式有许多运算法则，比如：在加减运算中，有去括号法则和合并同类项法则；在乘除运算中，有同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减等运算法则。与整式相对的概念是分式，整式与分式都是有理式，如果一个有理式的分母中含有字母，则为分式；若无，则为整式。整式及其运算法则在数学、物理、经济的领域中都具有广泛的应用价值。
定义
用运算符号（包括加、减、乘、乘方）将数和表示数的字母连接起来的代数式称为整式。
整式是单项式和多项式重武器。只包含字母的乘法运算，不包含加减运算，称为单项式。几个单项式经过加减运算得到的，称为多项式。
单项式
单项式是由数字或字母的积所组成的式子，单独一个数或字母也是单项式。例如：、。
单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：单项式的系数是。
单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：单项式的系数为，次数为。
多项式
多项式是几个单项式的和，例如：就是一个多项式。
多项式的项
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项，就叫几项式。例如：为四项式，这四项分别是：，前三项中字母的指数之和依次为，分别称这些项为原多项式的三次项、二次项、一次项，最后一项不含字母，叫常数项。
多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。例如：的次数为，称为二次二项式。
有时多项式的次数是对特定的字母说的。例如，是字母的二次式，称为的二次三项式，其中，字母与分别叫做二次项与一次项的文字系数。
多项式排序
把一个多项式的各项按次数大小排序，各项次数从大到小排列的叫降幂排列，从小到大排列的叫升幂排列。例如：为降幂排列，为升幂排列。
简史
公元前6世纪，古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras)提出了关于数的概念，成为代数学发展的重要奠基。8至13世纪，阿拉伯数学家如欧玛尔·海亚姆(Ghiydth aNisdbflri)在代数方面取得了许多创新性的成就，如解二次方程、完全数的处理和把分式表达式转化成小分数等。
17世纪，法国的数学家弗朗索瓦·维埃特(FrancoisViète)用字母代替已知和未知量，使日渐衰微的代数复生。
整式的运算
加减
整式的加减，主要步骤为去括号、合并同类项，将多项式化简，结果可按某个字母的降幂排列。
去括号法则
例题：求两个多项式与的和
解：
合并同类项法则
同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
所有常数项都是同类项；同类项与它们所含字母顺序无关；同类项与系数无关。
合并同类项法则是：将多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变。
例题：求两个多项式与的差
解：
乘法
同底数幂的乘法
定义：同底数幂是指底数相同的幂。底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即(都是正整数)。
幂的乘方
定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如：是个相乘，读作的次幂的次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：(都是正整数)。
积的乘方
定义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如，等。
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(为正整数)。
单项式乘以单项式法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。这个法则基于乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法性质。
单项式乘以单项式，结果仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其视为一个整体来运算，三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用。
例题：
单项式乘以多项式法则
单项式与多项式相乘的法则是：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。这个法则是乘法分配律的直接应用。单项式与多项式的积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同。
例题：
多项式乘以多项式法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。这同样是乘法分配律的推广。
例题：
因式分解
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例题：
分组分解法
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
例题：
十字相乘法
十字相乘法是将一元二次多项式分解因式的一种方法。具体方法是：第一步，画出十字相乘示意图，设二次多项式为，先将二次项系数分解为两个数的乘积，即，再将常数项分解为两个数的乘积，即，当时，就表明分解符合要求。
第二步，写结果。根据示意图可知，
例题：
根据十字相乘法，
可知，原式
公式法
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
(1)平方差公式：
(2)完全平方公式：
完全平方公式的推广：
(3)立方和公式：
(4)立方差公式：
(5)完全立方公式：
(6)其他公式：
（为正整数）
（其中为偶数）
（其中为奇数）
除法
同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减。即(，是正整数，并且)。
单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注：单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的。
例如：
多项式除以多项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
例如：
相关概念
分式的概念
一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式。称为分式的式子，称为分式的分母。例如：，。
整式与分式都是有理式，如果一个有理式的分母中含有字母，则为分式；若无，则为整式。
分式与整式的关系
整式与分式关系密切，如：整式、分式可以表达同一数量关系。例如：长方形的面积、长、宽三者之间的关系可以表示为或或；一个物体的质量、体积、密度三者之间的关系可以表示为或或。表达式的形式因要表示的量而异，有的是整式，有的是分式，但它们实际上表达的是同一数量关系，可以相互转化。
在证明整式不等式时，可将其转化为分式不等式来证明。
例如：已知，求证
证明：原不等式可化为 (1)
由二元均值不等式得，即，
同理，，，
以上三个不等式相加即得(1)式，从而原不等式得证。
相关推广
多项式环
多项式环是对初等数学中多项式的推倒。定义：设是有单位元的交换环，形如的表达式称为环上的一个关于的多项式，其中是整数，称为的次项，叫做多项式的系数，， 称为常数项。
把上关于的所有多项式放在一起所成的集合用表示。
多项式环的整除性
定义：令和是数域上多项式环中的两个多项式，如果存在中的一个多项式，使，则称整除，记作。
性质：(1)零多项式只能整除零多项式。
(2)任一多项式都能整除零多项数。
(3)零次多项式能整除任一多项式。
(4)若，则，其中，且。
(5)若，，则，其中为非零常数。
(6)若，，则。
(7)若，则，其中是任意多项式。
(8)若，，且，则，一般地，若，两两互素，则。
(9)多项式的根与一次因式的关系：。
应用
数学领域
在数学领域，整式可以表示一些数学概念和联系。
例题1：某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价的关系如下表，
用表示的公式是：。
例题2：如图，在矩形中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积。
解：
物理领域
在物理领域，整式可以描述物体的运动、电路的特性。比如匀速运动的路程、速度、时间的关系可以用整式表示为，还可以转化为分式： 或；同一电路中的电压、电流、电阻的关系可以用整式表示为，还可以转化为分式： 或。
例题：一辆汽车以50千米/小时的速度行驶，则行驶的路程（千米）与行驶的时间（小时）之间的关系式是：
经济领域
在经济领域中，整式可以描述经济关系和分析经济问题，如利润计算、成本分析、市场份额计算等。
%
例题：某商场销售一种名牌衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件村衫要降价多少元？
解：设每件村衫应降价元，则每件盈利为元，每天可销出件，根据题意，列方程，得：
整理，得
解方程，得
当时，每天可售出
当时，每天可售出
参考资料 >
教研员"下基层"见闻:思考不只是学生的事-教研员,下基层-北方网-新闻中心.北方网.2023-11-26